4.1 Периодические несинусоидальные токи и напряжения в линейных электрических цепях

/
  • 4.1.1 Разложение периодических несинусоидальных функций в гармонический ряд
  • 4.1.2 Разложение в ряд при различных видах симметрии
  • 4.1.3 Действующее значение несинусоидального тока

4.1.1 Разложение периодических несинусоидальных функций в гармонический ряд

Аналитическое описание несинусоидальной периодической функции осуществляется с помощью теоремы Фурье, согласно которой любая периодическая функция ƒ(ωt) может быть представлена в виде суммы ряда составляющих, из которых одна составляющая постоянная, а другие являются синусоидальными функциями с кратными частотами (гармонические составляющие или просто гармоники).

теорема Фурье

где A0; – постоянная составляющая (нулевая гармоника);

А1, А2;, А3;, Аk; – амплитуды гармонических составляющих;

φ1, φ2, φ3, φk – начальные фазы соответствующих гармоник.

Первая гармоническая составляющая имеет период, равный периоду несинусоидальной кривой ƒ(ωt). Она называется первой или основной гармоникой.

Все другие гармонические составляющие имеют частоты, в целое число раз большие частоты первой гармоники. Эти гармоники называются высшими.

Выражение 4.1 можно преобразовать, применив известную из тригонометрии формулу синуса суммы двух углов:

Обозначив постоянные величины Ak;Cosφk=Bk, AkSinφk=Ck, получим:

Применяя подобную запись ко всем гармоническим составляющим, несинусоидальную функцию можно представить так:

Особенность такой записи состоит в том, что гармоники составляют ряд синусов и ряд косинусов с нулевыми начальными фазами.

Коэффициенты A0; Bk; Ck ряда определяются при помощи следующих формул:

Если закон изменения ординат кривой можно выразить аналитически, то выражения (4.5) – (4.7) позволяют в большинстве случаев выполнить аналитически разложение в тригонометрический ряд вида (4.4) и далее, если требуется перейти к ряду (4.1). Постоянная составляющая, как видно из формулы (4.5), является средним значением функции за ее период.

Таким образом, постоянная составляющая в тригонометрическом ряду отсутствует, если среднее за период значение функции равно нулю.

4.1.2 Разложение в ряд при различных видах симметрии

Периодические функции, используемые в электротехнике, чаще всего имеют симметрию. Одни из них симметричны относительно оси абсцисс, другие – относительно оси ординат или начала координат.

На рисунке 4.1 показан график функции, симметричной относительно оси абсцисс. Для такого графика:

График функции, симметричной относительно оси абсцисс

Рисунок 4.1 – График функции, симметричной относительно оси абсцисс

При симметрии относительно оси абсцисс значения функции повторяются с обратным знаком через половину периода, поэтому кривая второго полупериода, сдвинутая влево на π, является зеркальным отображением кривой первого полупериода.

В составе тригонометрического ряда функции, подчиняющейся условию (4.8), отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники. В этом нетрудно убедиться, если записать ряды вида (4.1), для функций ƒ(ωt) и ƒ(ωt+π):

Функция ƒ(ωt+π) отличается от ƒ(ωt) тем, что все нечетные гармоники имеют отрицательный знак:

Согласно условию (4.8) ƒ(ωt)+ƒ(ωt+π)=0 Тогда

При любом значении ωt это равенство возможно, если A0=0; A2=0; A4=0 и т.д.

Таким образом, кривая, симметричная относительно оси абсцисс, выражается тригонометрическим рядом следующего вида:

Симметрию относительно оси ординат имеют кривые, у которых при изменении знака аргумента величина и знак функции не меняются (рис.4.2):

Симметрия относительно оси ординат

Рисунок 4.2 – Симметрия относительно оси ординат

Функция, симметричная относительно оси ординат, не содержит синусов:

В этом можно убедиться без математического доказательства. Действительно, входящие в состав ряда (17.4) косинусы симметричны относительно оси ординат, а синусы несимметричны. Если функция в целом симметрична относительно оси ординат, то это возможно лишь при отсутствии синусов. Наличие же постоянной составляющей не нарушает симметрии такого вида.

Симметрия относительно начала координат (рис. 17.3) соответствует условию:

Нетрудно заметить, что в данном случае в обеих половинах периода имеются две равные по величине ординаты с разными знаками. Поэтому среднее значение функции за период, или постоянная составляющая, равно нулю. Отсутствуют и несимметричные относительно начала координат косинусоидальные составляющие.

- Симметрия относительно начала координат

Рисунок 4.3 – - Симметрия относительно начала координат

Функция имеет только ряд синусов, обладающих симметрией такого же характера, как и функция в целом:

4.1.3 Действующее значение несинусоидального тока

Как известно, действующее значение синусоидального тока численно равно такому постоянному току, при котором выделяется столько же тепла, сколько его выделяется при переменном токе в одинаковом сопротивлении за одинаковое время, равное одному периоду Т. Из такого же условия определяется действующее значение переменного несинусоидального тока.

При этом необходимо учесть, что несинусоидальный ток складывается из постоянной составляющей и ряда синусоидальных гармоник:

Очевидно, общее количество тепла, которое выделяется при несинусоидальном токе в некотором элементе цепи с сопротивлением R в течение одного периода Т, будет равно сумме количеств тепла от всех его составляющих:

где Q – тепло, выделяемое за один период Т при несинусоидальном токе, действующее значение которого равно I:

Q0 – тепло, выделяемое за то же время при токе, равном постоянной составляющей:

За время периода T&subk; при токе, равном k-й составляющей, выделяется тепло

где Ik – действующее значение тока k-ой гармоники.

За время, равное периоду основной гармоники, выделится в k раз больше тепла:

После подстановки в (4.18) получим:

Или

Отсюда следует, что действующее значение несинусоидального тока является средней квадратичной из постоянной составляющей и действующих значений синусоидальных составляющих этого тока:

Аналогичное выражение можно получить и для действующего значения несинусоидального напряжения:

Действующие значения несинусоидальных токов и напряжений измеряются электроизмерительными приборами тепловой, электромагнитной и электродинамической систем.

Несинусоидальные периодические кривые характеризуются коэффициентом искажения, который равен отношению действующих значений основной гармоники и всей функции:

Для синусоиды kи=1.

/

Другие разделы главы 4: