5.4 Принужденные и свободные составляющие переходных токов и напряжений

Рассмотрим электрическую цепь, схема которой показана на рисунке 5.3. Цепь описывается уравнением

которое является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Следовательно, определение тока как функции времени сводится к решению этого дифференциального уравнения.

Известно, что общий интеграл линейного дифференциального уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Если действующая в цепи ЭДС постоянна (Е=Const), то частным решением неоднородного уравнения будет E/R.

Однородное уравнение получаем из исходного, приравнивая нулю его правую часть:

Решением однородного уравнения является функция вида Ae^pt, где A и p – постоянные числа, не зависящие от t. Для рассматриваемой цепи A=E/R, р=-R/L.

Тогда полным решение исходного уравнения будет

Убедимся, что подстановка этого решения в исходное уравнение обращает его в тождество

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения называют принужденной составляющей переходного тока или напряжения, а общее решение однородного дифференциального уравнения – свободной составляющей.

В рассмотренном нами примере E/R – принужденная составляющая переходного тока, а (-E/R)e^-Rt/L его свободная составляющая. Таким образом, полная величина переходного тока

Принужденные составляющие переходных токов и напряжений определяются в цепях постоянного тока любым из известных методов расчета цепи в установившемся режиме после коммутации, а в цепях синусоидального тока символическим методом.

Кроме того, следует помнить, что постоянный ток через конденсатор не проходит, поэтому принужденная составляющая емкостного тока в цепях с постоянной ЭДС равна нулю. Падение напряжения на индуктивности от постоянного тока равно нулю. Следовательно, равна нулю и принужденная составляющая индуктивного напряжения.

В линейных электрических цепях свободные составляющие затухают по показательному закону e^pt. Из трех токов (полного, принужденного и свободного) основное значение имеет полный ток. Именно он является тем реальным током, который проходит по тому или иному участку цепи в переходном режиме.

Другие разделы главы 5: