Рассмотрим электрическую цепь, схема которой показана на рисунке 5.3. Цепь описывается уравнением
которое является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Следовательно, определение тока как функции времени сводится к решению этого дифференциального уравнения.
Известно, что общий интеграл линейного дифференциального уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.
Если действующая в цепи ЭДС постоянна (Е=Const), то частным решением неоднородного уравнения будет E/R.
Однородное уравнение получаем из исходного, приравнивая нулю его правую часть:
Решением однородного уравнения является функция вида Aept, где A и p – постоянные числа, не зависящие от t. Для рассматриваемой цепи A=E/R, р=-R/L.
Тогда полным решение исходного уравнения будет
Убедимся, что подстановка этого решения в исходное уравнение обращает его в тождество
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения называют принужденной составляющей переходного тока или напряжения, а общее решение однородного дифференциального уравнения – свободной составляющей.
В рассмотренном нами примере E/R – принужденная составляющая переходного тока, а (-E/R)e-Rt/L его свободная составляющая. Таким образом, полная величина переходного тока
Принужденные составляющие переходных токов и напряжений определяются в цепях постоянного тока любым из известных методов расчета цепи в установившемся режиме после коммутации, а в цепях синусоидального тока символическим методом.
Кроме того, следует помнить, что постоянный ток через конденсатор не проходит, поэтому принужденная составляющая емкостного тока в цепях с постоянной ЭДС равна нулю. Падение напряжения на индуктивности от постоянного тока равно нулю. Следовательно, равна нулю и принужденная составляющая индуктивного напряжения.
В линейных электрических цепях свободные составляющие затухают по показательному закону ept. Из трех токов (полного, принужденного и свободного) основное значение имеет полный ток. Именно он является тем реальным током, который проходит по тому или иному участку цепи в переходном режиме.
Другие разделы главы 5: