5.9 Определение постоянных интегрирования в классическом методе

/

Классическим называют метод, в котором решение дифференциального уравнения берут в виде суммы принужденного и свободного решений, а определение постоянных интегрирования производят путем совместного решения системы линейных алгебраических уравнений по известным корням характеристического уравнения и известным значениям свободной составляющей тока (напряжения) и ее производных, взятых при t=0+.

Уравнения для любого свободного тока или напряжения можно представить как сумму экспоненциальных слагаемых, число которых определяется степенью характеристического уравнения.

Так при двух действительных неравных корнях

Для любой электрической цепи с помощью уравнений Кирхгофа и законов коммутации можно найти:

1) числовое значение искомого свободного тока при t=0+[iсв(0+)];

2) числовое значение первой и высших производных от свободного тока, взятых при

Допустим, что нам известны корни характеристического уравнения p1 и p2, а также значения свободной составляющей тока iсв(0+) и ее производной iсв(0+)

Свободна составляющая тока

Продифференцируем это уравнение по времени:

Рассмотрим уравнения (5.24) и (5.25) при t=0+:

В этой системе уравнений неизвестными являются А1 и А2. Совместное решение уравнений (5.26) и (5.27) дает:

Если корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными, то в выражении (5.24) сопряжены не только р1 и р2, но и А1 и А2. Поэтому свободный ток

Угловая частота ω0 и коэффициент затухания δ известны из решения характеристического уравнения.

Продифференцировав по времени уравнение (5.29), получаем

При t=0+ имеем

Таким образом, для нахождения неизвестных A и γ имеем два уравнения:

Для цепи, имеющей характеристическое уравнение третьей степени, свободный ток

Найдем первую, а затем вторую производную от левой и правой частей уравнения (5.33).

Запишем уравнения (5.33 – 5.35) при t=0+

Система уравнений (5.36) представляет собой систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными: А1, А2 и А3. Все остальные входящие в нее величины известны.

/

Другие разделы главы 5: