5.10 Анализ переходных процессов в простых цепях первого и второго порядка

/
  • 5.10.1 Переходные процессы в цепи с последовательно соединенными участками R и L
  • 5.10.2 Переходные процессы в цепи с последовательно соединенными участками R и Cи
  • 5.10.3 Переходные процессы в цепи с последовательно соединенными участками R, L, C.

5.10.1 Переходные процессы в цепи с последовательно соединенными участками R и L

Исследуем переходные процессы в цепи, содержащей последовательное соединение резистора и индуктивной катушки (рис.5.7).

Цепь, содержащая последовательное соединение резистора и индуктивной катушки

Рисунок 5.7 – Цепь, содержащая последовательное соединение резистора и индуктивной катушки

Дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи имеет вид:

где e=e(t) – ЭДС на зажимах цепи.

Это же уравнение для свободной составляющей тока

Характеристическое уравнение цепи R+Lp=0 откуда

Свободная составляющая переходного тока , а полный переходный ток .

Принужденный (установившийся) ток определяется видом заданной функции е(t), поэтому рассмотрим частные случаи:

а) Включение в цепь постоянной ЭДС Е0.

Принужденный ток iпр0/R, тогда

Постоянную интегрирования А найдем из начального условия. При t=0+ i(0+)=i(0-)=0. Тогда 0=(E0/R)+A, откуда A=-E0/R

Полный переходный ток

где I0 – установившееся значение тока.

Проанализируем полученное выражение. С ростом t ток в цепи постепенно нарастает от нуля до установившегося значения и тем медленнее, чем больше постоянная времени цепи &tau=1/|p|=L/R (рис. 5.8).

Рисунок 5.8

Напряжения на участках цепи:

В первый момент t=0 напряжение полностью прикладывается к индуктивности L, ток при этом равен нулю, а затем постепенно ЭДС самоиндукции падает, а ток в цепи нарастает, асимптотически приближаясь к установившемуся значению (рис. 5.8).

При t=∞ (а практически при t = 3÷5τ), напряжение оказывается полностью приложенным к резистору.

Рисунок 5.9

б) Короткое замыкание цепи

Отключение реальной катушки от источника постоянного напряжения при одновременном его замыкании накоротко

Рисунок 5.10 - Отключение реальной катушки от источника постоянного напряжения при одновременном его замыкании накоротко

Рассмотрим случай отключения реальной катушки (участка электрической цепи, обладающего некоторыми значениями R, L) от источника постоянного напряжения при одновременном его замыкании накоротко (рис. 5.10). В образовавшемся при этом контуре, благодаря наличию магнитного поля катушки индуктивности, ток исчезает не мгновенно. По мере того, как энергия магнитного поля рассеивается, превращаясь в резисторе в тепло, ток в контуре падает до нуля.

Процесс, происходящий в короткозамкнутом контуре RL, является свободным. Принужденный ток в этом случае равен нулю, а переходный ток

Постоянную интегрирования находим из начальных условий i(0+)=i(0-)=I0, где I0=E0/R – ток, который протекал в цепи до коммутации. Таким образом i(0+)=i(0-)=I0=E0/R=A.

Следовательно, переходный ток

График изменения тока в цепи показан на рисунке 5.11.

Рисунок 5.11

Иногда, отключая цепь RL от источника Е0, ее замыкают на добавочное сопротивление Rδ. Тогда сопротивление цепи будет равно (R+Rδ) и переходный ток

Постоянная времени цепи τ=L/(R+Rδ) становится меньше и, следовательно, ток будет затухать быстрее.

При этом ЭДС самоиндукции катушки

Значение ЭДС в первый момент времени после переключения больше E0 во столько раз, во сколько увеличилось сопротивление цепи. Это явление называют переходным перенапряжением. В реальных выключателях в результате переходных перенапряжений может возникать искра или дуга.

в) Включение катушки на синусоидальное напряжение

Пусть напряжение на входе цепи, содержащей последовательно соединенные резистор и индуктивную катушку, изменяется по закону

где φ – начальная фаза. Значение напряжения в момент включения

определяется величиной начальной фазы ф, называемой фазой включения.

В установившемся режиме синусоидальный ток в цепи отстает по фазе от напряжения на угол φ, определяемый соотношением активного и индуктивного сопротивлений:

где

Переходный ток в цепи

Постоянную интегрирования найдем из начальных условий при t=0+:

Но, согласно первому закону коммутации, i(0+)=i(0-)=0, так как до коммутации цепь была разомкнута. Следовательно, A=-ImSin(ф-φ) и переходный ток в цепи:

Переходное напряжение на резисторе uR=i(t)R, а переходное напряжение на индуктивности

Как видно из приведенных выражений, на установившиеся напряжения и ток налагаются свободные составляющие, которые затухают по показательному закону. В результате, в некоторые промежутки времени, i, uR, uL могут превосходить амплитудные значения, то есть в цепи может возникнуть большой ток (сверхток) и перенапряжения. Величина сверхтока и перенапряжений зависит от фазы включения и постоянной времени цепи.

Если цепь включается в момент времени, когда синусоида принужденного тока проходит через нуль, например, при ф-φ=0, то переходный ток

и напряжения

Свободная составляющая в этом случае не возникает, и сразу после включения в цепи наступает установившийся режим (рис. 5.12).

Рисунок 5.12

При включении в момент времени, когда ток iпр имеет максимальное значение ф-φ=π/2, iпр=Um/Z, в цепи возникает сверхток (рис.5.13).

Однако сверхток не может превзойти двойную амплитуду 2Im установившегося тока.

Рисунок 5.13

5.10.2 Переходные процессы в цепи с последовательно соединенными участками R и C

Пусть в момент времени t=0 цепь с последовательным соединением резистора и конденсатора подключается к источнику e(t) (рис. 5.14).

Рисунок 5.14

Выберем положительное направление тока и запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:

Перейдем к свободной составляющей

Характеристическое уравнение

откуда

Свободная составляющая напряжения на конденсаторе

где постоянная времени τ = RC.

Переходное напряжение на конденсаторе

а ток в цепи

Рассмотрим частные случаи.

а) Включение конденсатора на постоянное напряжение U0.

При этом конденсатор будет заряжаться до принужденного напряжения U0.

Переходное напряжение

Так как до коммутации Uc(0-)=0, то при t=(0+), Uc(0+)=0. Из этого условия находим постоянную интегрирования Uc(0+)=U0+A=0 откуда A=U0, а переходное напряжение

Зарядный ток цепи

Графики переходного напряжения и тока показаны на рисунке 5.18.

Из графиков видно, что напряжение на конденсаторе нарастает по экспоненциальному закону до величины U0. Зарядный ток возникает скачком и затем спадает по экспоненциальному закону.

б) Короткое замыкание цепи

При коротком замыкании цепи конденсатор, предварительно заряженный до напряжения U0, будет разряжаться через резистор.

Так как контур RC не содержит источников энергии, переходный процесс в нем носит свободный характер, т.е. UCпр = 0

Рисунок 5.15 - Графики переходного напряжения и тока

Переходное напряжение на конденсаторе

При t = 0+, uc(0+)=U0=A, откуда

Разрядный ток

На рисунке 5.16 представлены графики переходного напряжения на конденсаторе и переходного тока цепи.

Рисунок 5.16

Из графиков видно, что по мере разряда конденсатора напряжение на нем убывает по экспоненциальному закону. Разрядный ток в цепи возникает скачком, отрицателен и затухает до нуля.

в) Включение цепи на синусоидальное напряжение

Пусть u=UmSin(ωt+ф) где ф – фаза включения. Установившийся ток цепи

а принужденная составляющая напряжения на конденсаторе

Переходное напряжение на конденсаторе

При t=0+

Откуда

Тогда

На синусоидальное установившееся напряжение накладывается свободная составляющая, которая затухает по показательному закону.

5.10.3 Переходные процессы в цепи с последовательно соединенными участками R, L, C.

Цепь RLC

Рисунок 5.17 - Цепь RLC

При включении цепи RLC (рис.5.17) переходный процесс в ней исследуют при помощи уравнения:

Это уравнение после дифференцирования приводится к неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка

Характеристическое уравнение

Его корни

при двух корнях характеристического уравнения свободный ток

Принужденный ток находится в соответствии с заданной ЭДС. Характер свободного тока зависит от знака подкоренного выражения. Рассмотрим частные случаи:

Короткое замыкание цепи

Пусть конденсатор, заряженный до напряжения U0, замыкается на цепь с последовательным соединением индуктивной катушки и резистора. В этом случае уравнение (5.75) будет однородным (в образовавшемся контуре отсутствуют источники энергии).

или

Решение этого уравнения

где p1 и p2 – корни характеристического уравнения (5.22).

Ток в цепи

При t=0+ напряжение Uc(0+)=Uc(0-)=A1+A2=U0 а ток через катушку индуктивности i(0+)=i(0-)=Cp1A1+Cp2A2=0(к моменту коммутации конденсатор полностью заряжен и ток в цепи равен нулю).

Таким образом, имеем

Решение системы (5.84) дает постоянные интегрирования

С учетом найденных постоянных интегрирования

т.к. p1p2=1/LC. Напряжения на участках цепи

Проанализируем полученные выражения в зависимости от знака подкоренного выражения входящего в корни p1 и p2.

а) Апериодический разряд конденсатора

Если R2/4L2 > 1/LC, то есть R2LC > 4L2; то корни p1 и p2 будут вещественными, отрицательными, причем |p1| < |p2|.

Это значит, что все, полученные выше величины (i, uR, uL, uC), будут состоять из алгебраической суммы двух экспонент, имеющих разные знаки (ep1t-ep2t), причем первая экспонента затухает медленнее, чем вторая.

Ток i и напряжение uR начинаются с нуля и всегда отрицательны (рис.5.18).

Рисунок 5.18

Конденсатор

Рисунок 5.19 - Конденсатор

Напряжение на конденсаторе (рис. 5.19) изменяется с величины U0, а напряжение на катушке (рис. 5.20) с величины – U0. Напряжение на конденсаторе непрерывно убывает, оставаясь положительным. При этом напряжение на катушке возникает скачком. Оно сначала отрицательно, так как первая экспонента положительна, но меньше второй – отрицательной. Поскольку вторая экспонента затухает быстрее, то в точке t0 напряжение на катушке проходит через нуль.

Рисунок 5.20

Рассмотренный вид разряда называют апериодическим. Это такой вид разряда, при котором напряжение на конденсаторе монотонно спадает от U0 до нуля, то есть не происходит перезарядки конденсатора.

б) Критический разряд конденсатора

Такой вид разряда имеет место, когда корни характеристического уравнения вещественны и равны p1=p2=-R/2L а сопротивление контура равно критическому

Общее решение однородного дифференциального уравнения описывается в этом случае выражением:

По начальным условиям UC(0+)=U0; iL(0+)=0 находим постоянные интегрирования: A1=U0; A2=-pU0

Подставляя постоянные интегрирования в уравнения (5.88), получаем

Напряжение на катушке

Кривые i; uR; uC; uL не отличаются по форме от предыдущих.

в) Периодический разряд конденсатора

Такой разряд возникает, если сопротивление конура меньше критического В этом случае корни характеристического уравнения будут комплексно-сопряженными:

Подставляя эти корни в выражения для тока и напряжений, получаем:

Пусть δ/ω0=ctgф=Cosф/Sinф тогда

Если в цепи R=0, то δ=0 и

Рисунок 5.21

Таким образом, если бы в цепи не было рассеяния энергии (R=0), ток и напряжения на элементах были бы синусоидальными, то есть в контуре возникли бы собственные незатухающие колебания. Но так как активное сопротивление контура не равно нулю, колебания, возникающие в контуре, затухают по показательному закону (рис 5.21).

/

Другие разделы главы 5: