1.9 Методы расчета цепей постоянного тока

/
  • 1.9.1 Метод эквивалентного преобразования схем
  • 1.9.2 Метод контурных токов
  • 1.9.1 Метод эквивалентного преобразования схем

    В ряде случаев расчет сложной электрической цепи упрощается, если в ее схеме замещения заменить группу резистивных элементов другой эквивалентной группой, в которой эти элементы соединены иначе. Взаимная эквивалентность заключается в том, что после замены режим работы остальной части цепи не изменится.

    Метод может быть успешно применен для расчета таких цепей, в которых имеются резисторы, включенные между собой последовательно, параллельно или по смешанной схеме.

    Смешанным соединением называют такое соединение нескольких элементов, при котором в схеме можно выделить участки с последовательным и параллельным соединением.

    Так на схеме, изображенной на рисунке 1.11(а), резисторы R3 и R4 включены последовательно: между ними, в точке 3 нет ответвления с током, поэтому I3=I4. Эти два резистора можно заменить одним, эквивалентным, определив его как сумму R3+R4=R34

    После такой замены получается более простая схема (рис. 1.11(б).

    Здесь следует обратить внимание на возможные ошибки в определении способа соединения резисторов, которые иногда допускаются при отсутствии опыта в расчете электрических цепей.

    Например, резисторы R1 и R3 ошибочно принимают соединенными последовательно, а резисторы R2 и R4 – соединенными параллельно. Такое определение способа соединения резисторов не соответствует основным признакам последовательного и параллельного соединения.

    Между резисторами R1 и R3 , в точке 2, имеется ответвление с током I2. Поэтому ток I1 не может быть равен току I3, а резисторы R1 и R3 нельзя считать включенными последовательно. Резисторы R2 и R4 с одной стороны присоединены к общей точке 4, а с другой стороны – к разным точкам схемы 2 и 3. Следовательно, напряжение, приложенное к резистору R2, не может быть одновременно и напряжением на резисторе R4. Поэтому резисторы R2 и R4 нельзя считать включенными параллельно.

    Расчет цепи методом эквивалентного преобразования схем

    Рисунок 1.11 – Расчет цепи методом эквивалентного преобразования схем

    Параллельно соединены резистор R2 и последовательная группа резисторов R3 и R4, т.е. эквивалентное сопротивление R34, что более наглядно видно из схемы, представленной на рисунке 1.11(б). Сопротивления резисторов R2 и R34 можно заменить одним, эквивалентным, определив его из выражения

    Эквивалентные сопротивления

    и получить более простую схему (рис.1.11(в).

    В схеме на рисунке 1.11(в) резисторы R1, R24, R5 соединены последовательно. Заменив их одним, эквивалентным, получим простейшую схему (рис. 1.11(г).

    Подобными преобразованиями схему смешанного соединения резисторов с одним источником энергии в большинстве случаев удается привести к простейшей схеме, что значительно облегчает расчет.

    В схеме рисунка 1.11(г) ток I1 определяется по закону Ома. Токи в других ветвях первоначальной схемы нетрудно определить, переходя от схемы к схеме в обратном порядке.

    Из схемы на рисунке 1.11,в наглядно видно, что I5=I1=I2+I3.

    Кроме того, напряжение между точками 2 и 4 U24=I1R24.

    Зная это напряжение, легко определить токи I2 и I3=I4: I2=U24/R2; I3=I4=U24/R34.

    Следует иметь в виду, что в некоторых электрических цепях резисторы могут быть включены не последовательно и не параллельно, а образовывать контуры, которые называют треугольниками сопротивлений. В этом случае свернуть схему до простейшей удается, применив преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную трехлучевую звезду. При этом сопротивления эквивалентной звезды (рис.1.12) могут быть пересчитаны через сопротивления треугольника при помощи формул:

    Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду

    Рисунок 1.12 – Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду

    Преобразование треугольника сопротивлений в звезду

    Преобразование треугольника сопротивлений в звезду

    Преобразование треугольника сопротивлений в звезду

    Возможна и обратная замена трехлучевой звезды эквивалентным треугольником:

    Преобразование трехлучевой звезды в треугольник

    Преобразование трехлучевой звезды в треугольник

    Преобразование трехлучевой звезды треугольник

    1.9.2 Метод контурных токов

    При расчете цепи этим методом полагают, что в каждом независимом контуре электрической цепи течет свой контурный ток. Записывают уравнения по второму закону Кирхгофа для контурных токов и, решая эти уравнения, находят контурные токи. Затем через контурные токи определяют действительные токи ветвей.

    Вывод основных расчетных уравнений приведем применительно к схеме, изображенной на рисунке 1.13, в которой имеется два независимых контура.

    Положим, что в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток I11, а в правом (также по часовой стрелке) – контурный ток I22.

    Расчет цепи методом контурных токов

    Рисунок 1.13 – Расчет цепи методом контурных токов

    Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого из контуров. При этом учтем, что в смежной ветви (с резистором R5) сверху вниз течет ток равный I11-I22. Направления обхода контуров примем также по часовой стрелке.

    Для левого контура:

    Для правого контура:

    После элементарных преобразований получаем:

    Рассмотрим коэффициенты при искомых токах.

    В первом уравнении коэффициент при токе I11 представляет собой сумму сопротивлений первого контура. Обозначим его R11. Коэффициент при токе I22 – сопротивление смежной ветви между первым и вторым контурами, взятое со знаком минус. Обозначим его R12.

    Аналогично, во втором уравнении коэффициент при токе I11 представляет собой взятое со знаком минус сопротивление смежной ветви между вторым и первым контурами (R21). Коэффициент при токе I22 представляет собой суммарное сопротивление второго контура – R22.

    В правой части первого уравнения имеем контурную ЭДС первого контура E11, а в правой части второго уравнения – контурную ЭДС второго контура – Е22.

    Перепишем исходные уравнения с учетом принятых обозначений:

    Если в цепи имеется больше двух контуров, например, три, то система уравнений выглядит следующим образом:

    или в матричной форме:

    Рекомендуется для единообразия в знаках сопротивлений с разными индексами все контурные токи направлять в одну и ту же сторону, например, по часовой стрелке.

    Решение системы уравнений дает искомые контурные токи.

    В ветвях, не являющихся смежными между соседними контурами (например, в ветви с резисторами R1, R2 схемы рис.1.13), найденный контурный ток является действительным током ветви. В смежных ветвях действительные токи определяются через контурные. Например, в ветви с резистором R5 протекающий сверху вниз ток равен разности I11-I22.

    Рассмотрим пример: по заданным параметрам цепи и ЭДС источников рассчитать токи ветвей цепи, представленной на рисунке 2.2 методом контурных токов.

    Находим: R11=R1+R2+R5=2+3+1=6Ом;

    R22=R5+R3+R4=1+5+3=9Ом;

    R12=R21=-R5=-1Ом;

    E11=E1+E5=5+8=13В;

    E22=-E5-E4==-8-3=-11В.

    Подставив полученные данные в систему (1.25), находим решение: I11=2A; I22=-1А. Рассчитываем действительные токи ветвей: I1=I11=2А; I5=I11-I22=2+1=3А; I4=-I22=1А.

    /

    Другие разделы главы 1: