2.25 Круговые диаграммы

/

2.25.1 Построение дуги окружности по хорде и вписанному углу

2.25.2 Уравнение дуги окружности в векторной форме

2.25.3 Круговая диаграмма тока для двух последовательно соединенных сопротивлений

2.25.1 Построение дуги окружности по хорде и вписанному углу

Вписанным называется угол, вершина которого находится на окружности, а стороны являются хордами.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Так угол ∠АВС = а угол ∠ADC = . С другой стороны, ∠ABC + ∠ADC = π (рис. 2.39).

Построение окружности по хорде и вписанному углу

Рисунок 2.39 – Построение окружности по хорде и вписанному углу

Угол ∠EDC является дополняющим до π к углу ∠ADC и, следовательно, тоже равен Φ.

Какое бы положение ни занимала точка “D” в интервале от “A” до “C”, угол между продолжением хорды AD (DE) и хордой DC остается неизменным и равным Φ. Угол между продолжением хорды AC и касательной к окружности в точке “C” также равен Φ.

Центр окружности “O” находится на пересечении перпендикуляра к середине хорды и перпендикуляра к касательной (рис. 2.40).

Нахождение центра окружности

Рисунок 2.40 – Нахождение центра окружности

Из сказанного следует, что если заданы хорда и вписанный угол, то для отыскания центра окружности необходимо:

а) восстановить перпендикуляр к середине хорды;

б) под углом Φ к продолжению хорды провести прямую, которая и будет являться касательной к окружности;

в) восстановить перпендикуляр к касательной. Пересечение двух перпендикуляров определит точку “O”.

2.25.2 Уравнение дуги окружности в векторной форме

Построения, сделанные выше, можно выполнить и на комплексной плоскости. В этом случае все хорды являются векторами (рис.2.41).

Построение окружности на комплексной плоскости

Рисунок 2.41 – Построение окружности на комплексной плоскости

На комплексной плоскости совместим хорду CA=F с вещественной осью.

Если Φ > 0, то от продолжения хорды он должен быть отложен против часовой стрелки.

Обозначим DA=G; и CD=H. Тогда

Вектор H опережает вектор G на угол Φ. Пусть модуль вектора H в k раз больше вектора G. Тогда

Если k = 0, то H=0 и G=F. При k = ∞ G=0 и H=F.

Подставляя (2.92) в (2.93), получаем

откуда

Уравнение (2.95) называют уравнением дуги окружности в векторной форме.

При изменении коэффициента k от 0 до изменяются оба вектора G=0 и H=0, но так, что угол Φ между ними остается неизменным, а сумма векторов равна вектору F.Конец вектора G=0 скользит по дуге окружности, хордой которой является вектор F. Поэтому можно считать, что дуга окружности является геометрическим местом концов вектора G=0.

Если процесс в электрической цепи описывается уравнением по форме тождественным уравнению (2.95), то геометрическим местом концов вектора тока или напряжения, выполняющего в уравнении цепи ту же роль, что и вектор G=0 в уравнении (2.95), является дуга окружности.

2.25.3 Круговая диаграмма тока для двух последовательно соединенных сопротивлений

Два последовательно соединенных сопротивления

Рисунок 2.42 – Два последовательно соединенных сопротивления

Пусть одно из последовательно соединенных сопротивлений неизменно, а другое изменяется только по модулю (рис. 2.42). Примером может служить линия электропередачи с неизменным напряжением, постоянным сопротивлением линии Z1 = R1 + jX1 и с изменяющимся сопротивлением нагрузки Zн = Rн + jXн = eн, но при неизменном коэффициенте мощности CosΦн = Rн/zн, т.е. сопротивление нагрузки изменяется только по модулю.

Уравнение тока цепи в комплексной форме:

Уравнение тока цепи в комплексной форме

где ток в цепи при коротком замыкании сопротивления нагрузки – ток в цепи при коротком замыкании сопротивления нагрузки.

Это уравнение тождественно уравнению (2.95). Роль вектора F играет комплекс Íк.з., роль k – отношение модулей zн/z1, роль F – вектор тока Í.

При изменении Zн вектор тока Í будет скользить по дуге окружности, построенной на хорде Íк.з.

Построение круговой диаграммы иллюстрирует рисунок 2.43.

Построение круговой диаграммы

Рисунок 2.43 – Построение круговой диаграммы

Вектор Ú направим по вещественной оси. Ток отстает от напряжения на угол φ1. Построим его, выбрав масштаб mi. Для определенности построим диаграмму для φн1=Φ<0.

Отложим угол Φ и строим дугу .

Возьмем на дуге произвольную точку d. Отрезок ad в масштабе mi характеризует ток Í, а отрезок dc – произведение

Отложим на направлении Íк.з. отрезок где . Отрезок ae выражает модуль неизменного сопротивления z1. Из точки е под углом к линии ае проводим прямую еƒ, которая, как будет показано ниже, является линией модуля переменного сопротивления zн.

Треугольник aeƒ подобен треугольнику adc (∠adc = ∠aeƒ и стороны параллельны).

Из подобия треугольников следует ad/dc=ae/eƒ, откуда

Следовательно, отрезок в масштабе mz определяет модуль переменного сопротивления.

Проекция тока I на направление U – отрезок ag в масштабе mp = =Umi определяет активную мощность но т.к. ag/ad=CosΦ, то P=UICosΦ.

Проекция тока Í на мнимую ось (отрезок ah) определяет реактивную мощность Q=UISinΦ.

Векторное уравнение напряжения на линии:

Следовательно, диаграмма напряжения на линии получится в результате умножения окружности тока Í на величину z1 и поворота ее на угол φ1.

/

Другие разделы главы 2: