2.14 Изображение синусоидально изменяющихся величин на комплексной плоскости

/

Комплексной называют плоскость, на которой можно изображать комплексные числа (рис.2.24). Комплексное число в общем случае имеет вещественную и мнимую части. Вещественную часть комплексных чисел откладывают по оси абсцисс, которую помечают индексом «+1». Мнимую часть комплексных чисел откладывают по оси ординат, которую помечают индексом «+j» (j=√-1).

Из курса математики известна формула Эйлера:

формула Эйлера

Комплексная плоскость

Рисунок 2.24 – Комплексная плоскость

Комплексное число e на комплексной плоскости изобразится вектором, модуль которого равен единице, а угол с вещественной осью – α. Угол α откладывается против часовой стрелки от оси «+1». Модуль вектора:

Проекция вектора на ось +1 равна Сosα, а на ось +j–Sinα.

Если вместо функции e взять функцию Ime, то:

На комплексной плоскости эта функция, так же как и функция e, изобразится вектором под углом α к оси +1 , но модуль вектора будет в Im раз больше.

Угол α может быть любым. Положим его равным (ωt+ψ). Тогда:

Функция ImSin(ωt+ψ) есть коэффициент при мнимой части (Im) выражения Imej(ωt+ψ) Синусоидально изменяющийся ток :

Таким образом, синусоидально изменяющийся ток i можно представить как Imej(ωt+ψ) или, что то же самое, как проекцию вращающегося вектора Imej(ωt+ψ) на ось «+j».

С целью единообразия принято на комплексной плоскости изображать векторы синусоидально изменяющихся величин для момента времени ωt=0. При этом вектор:

где Ím– комплексная величина, модуль которой равен Im; ψ– угол, под которым вектор Ím проведен к оси +1 на комплексной плоскости, равный начальной фазе.

Величину Ím называют комплексной амплитудой тока i. Комплексная амплитуда изображает ток i на комплексной плоскости для момента времени ωt=0. Точка, поставленная над током I или напряжением U, означает, что эта величина во времени изменяется по синусоидальному закону.

Рассмотрим пример. Пусть задана синусоидально изменяющаяся ЭДС e=28,2Sin(ωt+30°). Запишем выражение для комплексной амплитуды этой ЭДС. В данном случае Em=28,2В, ψ=30°. Следовательно, Ém=28,2ej30°В.

По комплексной амплитуде может быть найдено мгновенное значение.

Например: Ím=1,41e-j30°, тогда i=1,41Sin(ωt-30°). По аналогии вводят комплекс действующего значения:

Найдем производную и интеграл от символического изображения тока. Пусть i=ImSinωt. Тогда Í=Iejωt.

Производная:

Интеграл:

/

Другие разделы главы 2: